DIY History | Transcribe | Scholarship at Iowa | Eccentricity of the Sextant by Frederic Furbish, 1893 | Eccentricity of the Sextant by Frederic Furbish, 1893, Page 83

Transcribe
Translate

Eccentricity of the Sextant by Frederic Furbish, 1893

Eccentricity of the Sextant by Frederic Furbish, 1893, Page 83

[page][illegible][/page]

((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript]dz)) = ((sin z cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot z cos z)/(sin[superscript]3[/superscript] z))
Multiply by ((dz)/(dy)) = ((1)/(sin z)) and we get
((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript]dz)) * ((dz)/(dy)) = ((sin z cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot z cos z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) * ((1)/(sin z))
or ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) - ((cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)).

Substituting cosec[superscript]2[/superscript]z = 1 + cot[superscript]2[/superscript]z
((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) = ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) .

So we have for the first, second and third derivatives:-

(1) ((dz)/(dy)) = ((1)/(sin z)) ;
(2) ((d[superscript]2[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript])) = -((cot z)/(sin[superscript]2[/superscript]z)) ; 
[(3)?] ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) = ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) .

Substituting these values in Maclaurin's formula with the value of (y) we get 

z = z[subscript]0[/subscript] + ((1)/(sin z)) [*?] 2 cos φ cos δ sin[superscript]2[/superscript] (1/2) t - ((cot z[subscript]0[/subscript])/(sin[superscript]2[/superscript]z[subscript]0[/subscript] [*?] ((4 cos[superscript]2[/superscript] φ cos[superscript]2[/superscript] δ sin[superscript]4[/superscript] (1/2) t)/(L2)) + ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z[subscript]0[/subscript])/(sin[superscript]3[/superscript]z[subscript]0[/subscript])) [*?] 
((8 cos[superscript]3[/superscript] φ cos[superscript]3[/superscript] δ sin[superscript]6[/superscript] (1/2) t)/(6)) - - - - - 

Reducing this becomes.-

(4) z = z[subscript]0[/subscript] + ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript]0[/subscript])) 2 sin[superscript]2[/superscript] (1/2) t - ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript]0[/subscript]))[superscript]2[/superscript]

2 cot z[subscript]0[/subscript] sin[superscript]4[/superscript] (1/2) t + ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript][/subscript]))[superscript]3[/superscript] (2/3) (1 + 3 cot[superscript]2[/superscript] z[subscript]0[/subscript])

2 sin[superscript]6[/superscript] (1/2) t - - - - -

Saving...

[page][illegible][/page] ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript]dz)) = ((sin z cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot z cos z)/(sin[superscript]3[/superscript] z)) Multiply by ((dz)/(dy)) = ((1)/(sin z)) and we get ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript]dz)) * ((dz)/(dy)) = ((sin z cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot z cos z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) * ((1)/(sin z)) or ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) - ((cosec[superscript]2[/superscript]z + 2 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)). Substituting cosec[superscript]2[/superscript]z = 1 + cot[superscript]2[/superscript]z ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) = ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) . So we have for the first, second and third derivatives:- (1) ((dz)/(dy)) = ((1)/(sin z)) ; (2) ((d[superscript]2[/superscript]z)/(dy[superscript]2[/superscript])) = -((cot z)/(sin[superscript]2[/superscript]z)) ; [(3)?] ((d[superscript]3[/superscript]z)/(dy[superscript]3[/superscript])) = ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z)/(sin[superscript]3[/superscript]z)) . Substituting these values in Maclaurin's formula with the value of (y) we get z = z[subscript]0[/subscript] + ((1)/(sin z)) [*?] 2 cos φ cos δ sin[superscript]2[/superscript] (1/2) t - ((cot z[subscript]0[/subscript])/(sin[superscript]2[/superscript]z[subscript]0[/subscript] [*?] ((4 cos[superscript]2[/superscript] φ cos[superscript]2[/superscript] δ sin[superscript]4[/superscript] (1/2) t)/(L2)) + ((1 + 3 cot[superscript]2[/superscript]z[subscript]0[/subscript])/(sin[superscript]3[/superscript]z[subscript]0[/subscript])) [*?] ((8 cos[superscript]3[/superscript] φ cos[superscript]3[/superscript] δ sin[superscript]6[/superscript] (1/2) t)/(6)) - - - - - Reducing this becomes.- (4) z = z[subscript]0[/subscript] + ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript]0[/subscript])) 2 sin[superscript]2[/superscript] (1/2) t - ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript]0[/subscript]))[superscript]2[/superscript] 2 cot z[subscript]0[/subscript] sin[superscript]4[/superscript] (1/2) t + ((cos φ cos δ)/(sin z[subscript][/subscript]))[superscript]3[/superscript] (2/3) (1 + 3 cot[superscript]2[/superscript] z[subscript]0[/subscript]) 2 sin[superscript]6[/superscript] (1/2) t - - - - -